¿Los H2 duplicados dañan el SEO?

No, casi seguro que no. El único punto en el que esto podría doler es si las páginas no solo tuvieran el mismo h2, sino también contenido muy similar. Por ejemplo, si el único contenido ‘principal’ (aparte del encabezado, navegación, pie de página) en la página era el h2 con un párrafo duplicado debajo de él. Esto no causaría penalización, pero podría reducir el número de páginas indexadas: Google simplemente ignoraría las páginas que consideraba duplicadas.

Imagine un sitio web de comercio electrónico, una estructura de página de productos similar en miles de productos. Las únicas diferencias entre las páginas del producto son la descripción, el h1 (nombre del producto) y la imagen. Cada producto tiene la “Información de envío” h2 con un párrafo idéntico debajo.
Google no tiene ningún problema con esto: sería perjudicial forzarlo a escribir un título diferente para “Información de envío” miles de veces. Google se da cuenta de que parte del contenido de una página debe estar duplicado.

TL; DR, siempre que el contenido en sí sea único, puede tener el mismo h2 en miles de páginas, no hay problema.

Claro “no”. No hay razón para que múltiples H2s puedan dañar tu contenido. Eso solo cuenta para los H1, de los cuales solo debe tener uno. Considéralo el título de tu contenido.