Hace unos años, mientras me preparaba para el Nivel 2 de CFA, me enfrenté a la misma confusión. Mirando hacia atrás en mis notas, no creo que haya resuelto completamente el problema, pero aquí están mis hallazgos.
Primero, necesitamos examinar desde donde la expresión,
[matemáticas] P = \ frac {D_ {1}} {k_ {e} -g} [/ matemáticas]
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es derivado. Recuerde, el modelo de descuento de dividendos establece que el valor de una empresa viene dado por el valor presente de sus pagos de dividendos.
[matemáticas] P = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {D_ {k}} {\ left (1 + k_ {e} \ right) ^ {k}} [/ math]
Se supone además que los pagos de dividendos [matemática] D_ {k} [/ matemática] crecen a una tasa constante [matemática] g [/ matemática]. Por lo tanto, podemos escribir el valor como,
[matemáticas] P = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {D_ {0} \ left (1 + g \ right) ^ {k}} {\ left (1 + k_ {e} \ right ) ^ {k}} [/ matemáticas]
Ahora, aquí es donde la mayoría de los libros de texto financieros saludan con la mano o dejan la explicación al apéndice, pero es importante para su pregunta saber cómo pasamos de lo anterior a la primera expresión. Por eso hice referencia a saberlo aquí. ¿Cuál es la forma más efectiva de aprender matemáticas de bonos?
Lo que está arriba es una suma infinita, pero como enseña el cálculo, podemos sumar números un número infinito de veces y aún así obtener un resultado finito. Ver las paradojas de Zenón para un ejemplo clásico. Por lo tanto, debemos determinar si lo anterior converge a un resultado finito o diverge al infinito. Usando el siguiente resultado bien conocido con respecto a series geométricas infinitas,
[math] \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = \ frac {a} {1-r} [/ math], si y solo si [math] | r | <1 [/ matemáticas]
podemos mostrar que nuestra suma converge a
[matemáticas] P = \ frac {D_ {1}} {k_ {e} -g} [/ matemáticas], si y solo si [matemáticas] | \ frac {1 + g} {1 + k_ {e}} | <1 [/ matemáticas],
que podemos reducir a [matemáticas] g <k_ {e} [/ matemáticas] ignorando el caso de las tasas de crecimiento negativas. Sustituyendo la expresión que proporcionó por la tasa de crecimiento en términos de rendimiento del capital y la relación de pago de dividendos, tenemos la condición, [matemática] ROE \ left (1- \ lambda \ right) <k_ {e} [/ math]. Expresando [matemática] D_ {1} [/ matemática] como [matemática] E_ {1} \ veces \ lambda [/ matemática], dividiendo [matemática] P [/ matemática] por [matemática] E_ {1} [/ matemática] , y sustituyendo [math] g = ROE \ left (1- \ lambda \ right) [/ math] en la expresión para [math] P [/ math], podemos indicar [math] \ frac {P} {E } [/ math] en función de [math] \ lambda [/ math] como lo hiciste,
[matemáticas] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) = \ frac {\ lambda} {k_ {e} -ROE \ left (1- \ lambda \ right)} [/ math]
Dados algunos [math] k_ {e} [/ math] y [math] ROE [/ math] la función se define solo donde [math] \ lambda \ in \ left [1- \ frac {k_ {e}} {ROE }, 1 \ derecha] [/ matemáticas]. El punto final izquierdo proviene de resolver la desigualdad, [matemática] ROE \ left (1- \ lambda \ right) <k_ {e} [/ math], para [math] \ lambda [/ math].
Entonces tenemos tres casos:
- Si [math] ROE> k_ {e} [/ math], entonces [math] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) [/ math] es una función decreciente de [math] \ lambda [ / math] donde [math] \ lambda \ in \ left [1- \ frac {k_ {e}} {ROE}, 1 \ right] [/ math].
- Si [math] ROE = k_ {e} [/ math], entonces [math] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) [/ math] es una función constante de [math] \ lambda [ / math] donde [math] \ lambda \ in \ left [0,1 \ right] [/ math].
- Si [math] ROE <k_ {e} [/ math], entonces [math] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) [/ math] es una función creciente de [math] \ lambda [ / math] donde [math] \ lambda \ in \ left [0,1 \ right] [/ math].
Para probar el primer reclamo y el tercer reclamo, tome la derivada parcial de [math] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) [/ math] con respecto a [math] \ lambda [/ math] y tenga en cuenta que en el primer caso la derivada está disminuyendo estrictamente en [math] \ lambda \ in \ left [1- \ frac {k_ {e}} {ROE}, 1 \ right] [/ math] y en el segundo caso la derivada es estrictamente creciente en [math] \ lambda \ in \ left [0,1 \ right] [/ math].
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial \ lambda} \ left [\ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) \ right] = \ frac {k_ {e} -ROE} {\ left (ROE \ times \ lambda + k_ {e} -ROE \ right) ^ {2}} [/ math]
Para probar la segunda afirmación, sustituya [matemáticas] ROE = k_ {e} [/ matemáticas] en [matemáticas] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) [/ matemáticas] para ver que la expresión se simplifica a ,
[matemáticas] \ frac {P} {E} \ left (\ lambda \ right) = \ frac {1} {k_ {e}} [/ math]