Si un juego tiene un perfil de estrategia eficiente de Pareto único, ¿ese perfil de estrategia también es un equilibrio de Nash?

Sí, si agregamos la suposición de que el juego tiene un número finito de perfiles de estrategia. Primero probaré esto, y luego te mostraré por qué necesitamos asumirlo.

Denote el resultado eficiente de Pareto [matemáticas] x [/ matemáticas]. El primer paso es mostrar que para todos los demás resultados y, y todas las funciones de utilidad [matemáticas] u_i [/ ​​matemáticas], [matemáticas] u_i (x) \ geq u_i (y) [/ matemáticas]. Esto es relativamente fácil de mostrar. Dada una y arbitraria, dado que y no es eficiente, debe haber alguna [matemática] y_1 [/ matemática] tal que [matemática] u_i (y_1) \ geq u_i (y) [/ matemática] para todos [matemática] u_i [ /matemáticas]. Si esto [matemática] y_1 [/ matemática] no es igual a [matemática] x [/ matemática], entonces debemos poder encontrar otra [matemática] y_2 \ neq y_1 [/ matemática] tal que [matemática] u_i (y_2) \ geq u_i (y) [/ math] para todos [math] i [/ math]. Podemos repetir este proceso tantas veces como queramos, y dado que hay un número finito de resultados, eventualmente golpearemos [math] x [/ math], entonces por transitividad, [math] u_i (x) \ geq u_i ( y) \ forall i [/ math].

Ahora, supongamos que todos están jugando una estrategia que induce el resultado [matemáticas] x [/ matemáticas]. Claramente, nadie puede tener una desviación rentable, porque [math] u_i (x) \ geq u_i (y) \ forall i, y [/ math]. Por lo tanto, este es un equilibrio.

Aquí está el contraejemplo que demuestra que necesitamos un juego finito. Hay dos jugadores, y cada uno selecciona [math] x_i \ in \ mathbb {R _ ++} [/ math]. Si [math] x_1 = x_2 = 1 [/ math], ambos jugadores reciben 1. De lo contrario, el jugador 1 obtiene 0 y el jugador 2 obtiene [math] x_2. [/ Math]

Está claro que el único resultado eficiente de Pareto es el perfil de estrategia [matemática] (1,1) [/ matemática]. Pareto no puede mejorar este resultado, porque cualquier otro perfil de estrategia hace que el jugador 1 esté peor. Ningún otro resultado puede ser eficiente para Pareto, porque manteniendo [math] x_1 [/ math] constante, siempre puedes mejorar al jugador 2 al aumentar [math] x_2, [/ math] y no puedes empeorar al jugador 1 porque ella ya está obteniendo su pago mínimo. Sin embargo, [matemática] (1,1) [/ matemática] no es un equilibrio de Nash, porque el jugador 2 puede desviarse de manera rentable a cualquier [matemática] x_2> 1 [/ matemática].

De hecho, este juego no tiene equilibria de Nash en absoluto. Dejo probar esto como un ejercicio para el lector. Otro ejercicio para el lector: afirmé anteriormente que debemos asumir que el juego tiene un número finito de perfiles de estrategia. Ahora afirmo que, de hecho, es suficiente suponer que los perfiles de estrategia pura del juego se asignan a un número finito de vectores de pago distintos, incluso si hay estrategias infinitas o jugadores infinitos. Demuestra esto.

No. Considere el siguiente juego de dos jugadores:

Los jugadores 1 y 2 eligen simultáneamente los números [matemática] a_1 [/ matemática], [matemática] a_2 [/ matemática] del conjunto [matemática] [0,1] [/ matemática] respectivamente. Los pagos están dados por:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} u_1 (a_1, a_2) = a_1 + a_2 \ end {eqnarray *} [/ math]

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} u_2 (a_1, a_2) = \ begin {cases} a_1 + a_2 & \ text {if} a_1 + a_2 <2 \\ 0 & \ text {if} a_1 + a_2 = 2 \ end {cases} \ end {eqnarray *} [/ math]

Solo hay un perfil de estrategia eficiente de Pareto que es [matemática] (a_1, a_2) = (1,1) [/ matemática]. Cualquier desviación de este perfil necesariamente empeorará al individuo 1. Cualquier otro perfil de estrategia [math] (a_1, a_2) [/ math] tiene la propiedad [math] a_1 + a_2 <2 [/ math] y no es Pareto eficiente porque existe un perfil de estrategia [math] (a_1 ', a_2 ') [/ matemática] satisfactoria [matemática] a_1 + a_2

Este perfil de estrategia [matemática] (a_1, a_2) = (1,1) [/ matemática] no es un equilibrio de Nash porque el jugador 2 puede beneficiarse al cambiar su acción a cualquier [matemática] a_2 <1 [/ matemática].