Q. Encuentre el valor esperado de [math] X [/ math].
La probabilidad de que salgan las primeras caras en [matemática] k [/ matemática] prueba es [matemática] \ frac {1} {2 ^ k} [/ matemática], por lo que el valor esperado de [matemática] X [/ matemática ] es igual a [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} 2 ^ k \ times \ frac {1} {2 ^ k} = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} 1 = \ infty [/ math]. Por lo tanto, las ganancias esperadas del juego son [math] \ infty [/ math].
P. Si el costo de jugar este juego [matemática] n [/ matemática] veces es mil dólares, entonces ¿qué tan grande debería ser [matemática] n [/ matemática]?
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Aunque las ganancias esperadas del juego son [math] \ infty [/ math], parece razonable que la gente no quiera pagar mil dólares para jugarlo solo una vez. Una razón es que la probabilidad de incluso recuperar (ganar más de) mil dólares en este juego es muy pequeña y es igual a [matemáticas] \ sum_ {k = 10} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ k} = \ frac {1} {2 ^ 9} [/ math], es decir, necesita al menos 10 colas consecutivas para tener rendimientos positivos netos en el juego. Es correcto que haya una pequeña posibilidad de ganar una gran cantidad de dinero en este juego, y eso lleva a un valor esperado infinito, pero cuando el tomador de decisiones evalúa cualquier proposición, el factor de pequeña probabilidad generalmente supera la cantidad en consideración. Para tener su acuerdo, es necesario darle más oportunidades. Para saber cuántos, hay muchas posibilidades diferentes (y eso depende del tomador de decisiones):
- Supongamos que tenemos un tomador de decisiones que se preocupa por los rendimientos medios, en lugar de los rendimientos medios. Tal tomador de decisiones valorará el juego en 4. Esto se debe a que [matemáticas] \ Pr (X \ leq 4) = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} = \ frac {3} { 4} \ geq \ frac {1} {2} [/ math] y [math] \ Pr (X \ geq 4) = \ frac {1} {2} \ geq \ frac {1} {2} [/ math ] Por lo tanto, se le debe ofrecer 250 juegos de este tipo por mil dólares para atraerlo a jugarlo.
- Consideremos otro ejemplo de un tomador de decisiones que primero encuentra el número esperado de lanzamientos hasta que el juego termina, luego encuentra la recompensa asociada con el número esperado de lanzamientos, y finalmente trata esa recompensa como el valor para el juego. En este caso, el número de intentos hasta las primeras cabezas es una variable aleatoria geométrica con el parámetro [math] p = \ frac {1} {2} [/ math], y el número esperado de intentos para obtener caras es igual a [math] 2 [/ matemáticas]. Entonces, este tomador de decisiones valorará el juego en [matemáticas] 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]. Una vez más, para atraerlo a jugar este juego, se le deben ofrecer 250 juegos por mil dólares.
- También podemos considerar a otra persona que siente que si tiene un billón de dólares ([matemáticas] \ aprox. 2 ^ {30} [/ matemáticas]), entonces tiene todo y no necesita ni le importa ningún dinero adicional más allá de esta cantidad . Tal individuo tiene una función de valor para el dinero: [matemáticas] v (m) = \ begin {cases} m & \ text {if} m \ leq 2 ^ {30} \\ 2 ^ {30} & \ text {if } m> 2 ^ {30} \ end {cases} [/ math] o simplemente, [math] v (m) = \ min (m, 2 ^ {30}) [/ math]. Tal individuo tiene el valor esperado del juego de la siguiente manera: [math] \ mathbb {E} (v (X)) = \ sum_ {k = 1} ^ {30} 2 ^ k \ times \ frac {1} { 2 ^ k} + \ sum_ {k = 31} ^ {\ infty} 2 ^ {30} \ veces \ frac {1} {2 ^ k} = 30 + 1 = 31 [/ matemáticas]. Para atraer a esta persona a jugar por mil dólares, se le deben ofrecer 33 juegos de este tipo.