Para comparar el equilibrio de Cournot y Stackelberg es útil definir y encontrar las mejores correspondencias de respuesta de las dos empresas. En lo que sigue, [matemática] q_i [/ matemática] denota la elección de la cantidad de [matemática] i [/ matemática] donde [matemática] i \ en \ {1, 2 \} [/ matemática].
La correspondencia de mejor respuesta de la empresa 1 es:
[math] \ text {BR} _1 (q_2) [/ math] = Conjunto de todos [math] q_1 [/ math] s que maximizan las ganancias para la empresa 1 dado que la empresa 2 produce [math] q_2 [/ math].
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Similar,
[math] \ text {BR} _2 (q_1) [/ math] = Conjunto de todos [math] q_2 [/ math] s que maximizan las ganancias para la empresa 2 dado que la empresa 1 produce [math] q_1 [/ math].
En Cournot Game , las empresas eligen simultáneamente cantidades y la elección de equilibrio [matemática] (q_1 ^ c, q_2 ^ c) [/ matemática] satisface:
[matemática] q_1 ^ c \ en \ text {BR} _1 (q_2 ^ c) [/ matemática] y [matemática] q_2 ^ c \ en \ text {BR} _2 (q_1 ^ c) [/ matemática]
En Stackelberg Game , la empresa 1 elige primero su cantidad, luego la empresa 2 observa la elección de la empresa 1 y responde a ella eligiendo su cantidad a continuación. Dado que la empresa 2 observa la decisión de la empresa 1 antes de hacer su elección, la empresa 1 sabe que la empresa 2 siempre jugará su mejor respuesta y operará en su correspondencia de mejor respuesta [math] \ text {BR} _2 (q_1) [/ math]. Entonces, la elección de equilibrio [matemáticas] (q_1 ^ s, q_2 ^ s) [/ matemáticas] satisface:
La empresa 1 elegirá [matemática] q_1 ^ s [/ matemática] de tal manera que maximice sus ganancias sujeto a la restricción de que la elección de la empresa 2 satisfará [matemática] q_2 \ in \ text {BR} _2 (q_1) [ /matemáticas]. En consecuencia, [math] q_2 ^ s \ in \ text {BR} _2 (q_1 ^ s) [/ math].
Algunas comparaciones interesantes entre Cournot y Stackelberg Equilibrium:
- Tanto el equilibrio de Cournot como el de Stackelberg estarán en la mejor función de respuesta de la empresa 2, es decir, para [matemáticas] (q_1 ^ c, q_2 ^ c) [/ matemáticas] y [matemáticas] (q_1 ^ s, q_2 ^ s) [/ matemáticas ] lo siguiente es cierto: [matemáticas] q_2 ^ c \ in \ text {BR} _2 (q_1 ^ c) [/ matemáticas] y [matemáticas] q_2 ^ s \ in \ text {BR} _2 (q_1 ^ s) [ /matemáticas].
- La empresa 1 obtiene mayores ganancias en el caso de Stackelberg que Cournot. Esto se deduce del hecho de que la empresa 1 siempre tiene la opción de elegir una cantidad de Cournot [matemática] q_1 ^ c [/ matemática] en la configuración de Stackelberg, y la empresa 2 siempre elegirá la cantidad de Cournot [matemática] q_2 ^ c [/ matemática] en respuesta.
- La empresa 1 elige una cantidad mayor en Stackelberg que en Cournot. Esto se debe al hecho de que la empresa 1 obtiene mayores ganancias en Stackelberg que en Cournot, y la mejor respuesta de la empresa 2 cae con el aumento en la cantidad de la empresa 1.
(1), (2) y (3) implica que si el valor absoluto de la pendiente de la curva de mejor respuesta de la empresa 2 es menor que 1, entonces aumente la cantidad de la empresa 1 en unidades [matemática] \ Delta [/ matemática] a partir del equilibrio de Cournot, la cantidad de la empresa 2 disminuirá en menos de [math] \ Delta [/ math] unidades. Por lo tanto, la cantidad total vendida en equilibrio de Stackelberg será mayor y el precio de equilibrio será menor. Por lo tanto, solo necesitamos una curva de mejor respuesta más plana de la empresa 2 (con un valor absoluto de pendiente menor que 1) para que el resultado se mantenga.
Podemos mostrar fácilmente que la pendiente de la mejor curva de respuesta de la empresa 2 es menor que 1 en los mercados donde las empresas utilizan tecnología CRS idéntica y enfrentan una función de demanda lineal con pendiente descendente [matemática] p (Q) = a-bQ [/ matemática].
La mejor respuesta de la empresa 2 resuelve su problema de maximización de beneficios:
[matemáticas] \ max_ {q_2} \ \ \ displaystyle (ab (q_1 + q_2)) q_2 – cq_2 [/ matemáticas]
y obtenemos [math] q_2 = \ frac {a-bq_1-c} {2b} [/ math].
Entonces, el valor absoluto de la pendiente es [math] \ frac {1} {2} [/ math]. Por lo tanto, el precio de Stackelberg es más bajo que el precio de Cournot porque la mejor curva de respuesta de la empresa 2 es plana y tiene una pendiente inferior a 1 (en términos absolutos).