Considere un mundo de dos productos: X e Y. Decimos que un consumidor tiene preferencias cuasi lineales sobre estos dos bienes si tales preferencias pueden representarse por la función de utilidad de la forma
[matemáticas] u (x, y) = v (x) + y [/ matemáticas]
La función de demanda es la solución al problema de maximización de la utilidad:
- ¿Cuáles son las principales causas de las economías de escala?
- ¿Qué es la curva isocost?
- En teoría, ¿por qué debería cerrar una empresa si no puede cubrir AVC?
- Si las exenciones fiscales son la principal fuerza impulsora detrás de la creación de empleo, ¿cómo crearíamos empleos una vez que las tasas impositivas se redujeran prácticamente a cero?
- ¿De qué manera las leyes de salario mínimo afectan a una economía?
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ max \ limits _ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ 2_ +} & u (x, y) \\ \ text {st} & p_xx + p_yy = M \ end {eqnarray *} [/ math]
donde [math] M [/ math] denota el ingreso, [math] p_X [/ math] y [math] p_Y [/ math] denota los precios de X e Y respectivamente.
Aquí hay un ejemplo de cómo resolver la demanda cuando tenemos preferencias cuasi lineales:
Dados los datos:
- Función de utilidad: [math] u (x, y) = 2 \ sqrt {x} + y [/ math]
- Ingresos: [matemática] M> 0 [/ matemática]
- Precios: [matemática] p_X> 0 [/ matemática] y [matemática] p_Y = 1 [/ matemática]
El problema de maximización de la utilidad es
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ max \ limits_ {x, y} & \ \ 2 \ sqrt {x} + y \\ \ text {st} & \ \ p_Xx + y = M \\ \ text {y} & \ \ x \ geq 0, \ \ y \ geq 0 \ end {eqnarray *} [/ math]
Podemos sustituir [math] y = M – p_Xx [/ math] en el objetivo y convertirlo en un único problema de optimización de variables:
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ max \ limits_ {x} & \ \ 2 \ sqrt {x} + M- p_Xx \\ \ text {st} & 0 \ leq x \ leq \ frac {M} {p_X } \ end {eqnarray *} [/ math]
Diferenciando el objetivo con respecto a [math] x [/ math] produce:
[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {x}} – p_X [/ matemáticas]
que es una función decreciente de [math] x [/ math]. La interpretación del derivado es que es la curva de beneficio marginal neto de consumir X. Mientras el valor del derivado sea positivo, vale la pena gastar más en X. Por lo tanto, la opción de maximizar la utilidad será gastar todo el dinero en X si la curva de beneficio marginal neto sigue siendo positiva en [matemática] x = \ frac {M} {p_X} [/ matemática] es decir [matemática] \ sqrt {\ frac {p_X} {M}} – p_X> 0 [ / math] se mantiene, y la elección de equilibrio satisfará la propiedad [math] \ frac {1} {\ sqrt {x}} – p_X = 0 [/ math] de lo contrario.
Entonces, la función de demanda para X es:
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} x (p_X, p_Y = 1, M) = \ begin {cases} \ frac {1} {p_X ^ 2} & \ text {if} \ sqrt {\ frac {p_X} { M}} – p_X \ leq 0 \\ \ frac {M} {p_X} & \ text {if} \ sqrt {\ frac {p_X} {M}} – p_X> 0 \ end {casos} \ end {eqnarray * }[/matemáticas]