¿Por qué una curva de indiferencia no es cóncava al origen?

Ciertamente pueden ser. A los economistas les gusta trabajar con funciones de utilidad cóncavas, que son funciones tales que, para cualquier constante [matemática] \ alfa [/ matemática] entre 0 y 1 y dos paquetes de bienes [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [ /matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha u (x) + (1 – \ alpha) u (y) \ leq u (\ alpha x + (1 – \ alpha) y) [/ math]

Hay una variedad de razones para esto. Principalmente, el uso de una función cóncava captura los rendimientos marginales decrecientes, y el uso de funciones cóncavas puede garantizar la existencia de soluciones interiores para problemas de optimización. Si se trata como una función de utilidad esperada, la concavidad también implica aversión al riesgo. Por razones extrañas en las que no entraré, las preferencias que pueden representarse mediante funciones de utilidad cóncavas a menudo se denominan “preferencias convexas”. Para complicar aún más las cosas, a veces las preferencias convexas también pueden tener representaciones no cóncavas. Si esto se siente abrumador, permítame asegurarle que varios de los mejores economistas del mundo nunca pueden recordar la diferencia entre “cóncavo” y “convexo”, y todo lo que importa es que comunique efectivamente su suposición a su audiencia.

Las curvas de indiferencia son realmente conjuntos de funciones de utilidad a nivel; Muestran los diferentes paquetes que proporcionan los mismos niveles de utilidad. Una curva de indiferencia + el área en la parte superior derecha (suponiendo que la utilidad está aumentando en todos los bienes) es un conjunto de contorno superior. Resulta que los conjuntos de contorno superior de las funciones cóncavas son conjuntos convexos (lo que significa que si selecciona dos puntos en el conjunto, cualquier punto intermedio también está en el conjunto). Es fácil mostrar gráficamente que si la utilidad está aumentando en cada bien y los conjuntos de contornos superiores son convexos, entonces las curvas deben ser “convexas al origen”.

Tener preferencias no convexas no viola ninguno de los axiomas de la teoría de la utilidad, y hay algunos casos en los que realmente esperamos que los consumidores las tengan. Estas curvas de indiferencia parecerán estar orientadas hacia el otro lado. Si tiene preferencias no monótonas o discontinuas, puede hacer que las curvas de indiferencia sean aún más extrañas.