Supongamos que el apalancamiento es [matemática] \ gamma [/ matemática], es decir, con efectivo [matemática] c (t) [/ matemática], uno puede comprar o corto a lo sumo [matemática] \ gamma c (t) [/ matemáticas] de la población. Suponga también que [matemáticas] n (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] c (0) = c_ {0} [/ matemáticas].
Encontramos los puntos de inflexión en el tiempo [matemática] t ^ {*} [/ matemática] tal que [matemática] p ‘(t _ {-} ^ {*}) 0 [/ math], o al revés.
Entre estos puntos de inflexión, el stock está aumentando o disminuyendo monotónicamente. Por lo tanto, uno debería ser completamente largo en el primer caso, o ser completamente corto en el último.
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- Considere el escenario más simple donde [math] p (t) \ equiv 0 [/ math]. Creo que no se puede ganar dinero ya que las acciones no se mueven, a menos que uno esté vendiendo volatilidad escribiendo opciones de venta o compra. También tenga en cuenta que la solución propuesta originalmente [matemáticas] n ” (t) = p ‘(t) / (p (T) -p (t)) [/ matemáticas] no funciona ya que [matemáticas] p (T) – p (t) \ equiv 0 [/ matemática].
- Considere el segundo escenario donde [matemáticas] p (t) [/ matemáticas] está aumentando monotónicamente. El retorno debe ser [math] \ gamma p (T) / p (0) [/ math] si uno va largo en [math] t = 0 [/ math].
- Consideremos un ejemplo específico, donde el capital inicial es de $ 10k y las acciones ABC cotizan a $ 100 en [math] t = 0 [/ math]. Suponga que ABC llega a $ 200 en algún momento, antes de volver a $ 100 en [matemáticas] t = T [/ matemáticas]. Sin la pérdida de generalidad, suponga que no se utiliza el apalancamiento ([math] \ gamma = 1 [/ math]). La estrategia óptima es i) ir a 100 acciones largas en [math] t = 0 [/ math], i) luego pasar a 100 acciones cortas cuando ABC llegue a $ 200, y finalmente cubrir todo en [math] t = T [/ math ] La ganancia neta es 100% + 50% = 150%.
- Para el escenario más general, el rendimiento máximo es [matemáticas] \ exp [(N + 1) \ log \ gamma + | \ log p (t ^ {*} _ 1) – \ log p (0) | +…] [/ Matemáticas], suponiendo que haya [matemáticas] N [/ matemáticas] tales puntos de inflexión.