El teorema de la función implícita permite encontrar una relación entre [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], es decir, pendiente, en una ecuación implícita que no puede expresarse de forma explícita. Voy a aclarar
La función [math] y = 2x + 1 [/ math] está en una forma explícita, es decir, vemos explícitamente cómo [math] y [/ math] depende de [math] x [/ math]. Podemos escribir esta ecuación en forma implícita [math] y-2x-1 = 0 [/ math]. En general, cualquier función explícita [math] y = f (x) [/ math] puede escribirse de forma implícita [math] yf (x) = 0 [/ math]. Ahora, no todas las funciones implícitas se pueden escribir de forma explícita, por ejemplo, [math] log (x + y) -xy-5 = 0 [/ math]. No hay forma de resolver explícitamente [math] y [/ math] o [math] x [/ math]. Entonces, ¿qué hacemos si necesitamos encontrar cómo el cambio en [matemáticas] x [/ matemáticas] cambia [matemáticas] y [/ matemáticas] o viceversa, es decir, encontrar la pendiente? ¿Y por qué queremos saber la pendiente?
Esto es algo técnico que puede omitir .
De acuerdo con el teorema de la función implícita, si se cumplen las condiciones de la pareja, se definen las derivadas parciales con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] y la función completa es diferenciable en algún momento [matemáticas] ( x_0, y_0) [/ math] o incluso algún intervalo [math] (a, b) [/ math]. Como resultado, para los dos casos variables [matemática] g (x, y) = yf (x) = 0 [/ matemática] la pendiente sería [matemática] \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {dy} {dx} = – \ frac {\ partial _xg (x_0, y_0)} {\ partial _yg (x_0, y_0)} [/ math]. Para la función [matemática] g (x, y) = log (x + y) -xy-5 = 0 [/ matemática] la pendiente es [matemática] \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1 + xy + y ^ 2} {- 1 + xy + x ^ 2} [/ math]. Entonces, ahora podemos ver cuál es la pendiente, es decir, cómo el cambio en [matemáticas] x [/ matemáticas] cambia [matemáticas] y [/ matemáticas], es en algún momento [matemáticas] (x_0, y_0) [/ matemáticas]. Esto puede extenderse a funciones implícitas con infinitas variables.
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¿Por qué es importante en economía poder encontrar la pendiente de una función? Bueno, en microeconomía, la pendiente de una curva de indiferencia tiene una interpretación. Es la tasa marginal de sustitución , una tasa a la que un consumidor está dispuesto a renunciar a un bien a cambio de otro bien, manteniendo el mismo nivel de satisfacción (de utilidad). Las derivadas parciales representan una utilidad marginal, es decir, cuánta satisfacción adicional aporta una unidad del bien x o bien y. Además, en la optimización restringida , necesitamos la pendiente para encontrar un punto en el que el consumidor obtenga la máxima satisfacción. Una función que representa las preferencias del consumidor como, por ejemplo, Cobb-Douglas con una restricción de presupuesto lineal es una configuración habitual. En un punto que brinda la máxima utilidad, la pendiente de una restricción lineal es igual a la pendiente de una curva de indiferencia, la función Cobb-Douglas.
Entonces, el teorema de la función implícita nos permite encontrar la pendiente de las funciones implícitas que no se pueden poner en una forma explícita, para que podamos ver cómo y cambia cuando x cambia.