El teorema de Bolzano-Weirstrass dice que cada secuencia limitada tiene una subsecuencia convergente.
Este teorema se utiliza para demostrar que existe la solución al siguiente problema:
[matemáticas] \ max_ {x \ en X} f (x) [/ matemáticas]
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donde [math] X \ subset \ mathbb {R} ^ n [/ math] es (cerrado + acotado) (o compacto), y [math] f [/ math] es continuo.
En cualquier modelo de equilibrio general, siempre hacemos las siguientes dos preguntas:
- ¿Cuáles son las formas eficientes de distribuir las cosas disponibles entre las personas de la sociedad?
- ¿Cómo asignará el mercado (generalmente competitivo ) las cosas disponibles entre las personas de la sociedad?
Así es como el teorema nos ayuda a responder estas preguntas:
- Problema del consumidor : la mayoría de los modelos de equilibrio general implican que los consumidores tomen decisiones independientes en el mercado. En un modelo simple de comportamiento del consumidor, consideramos una situación en la que el consumidor elige el mejor paquete asequible maximizando su utilidad [matemática] (u) [/ matemática] sujeta a la restricción presupuestaria [matemática] (B) [/ matemática]: [matemáticas] \ max_ {x \ en B} u (x) [/ matemáticas]. La solución a este problema se conoce como demanda. El teorema de Bolzano Weirstrass establece un resultado que nos ayuda a concluir que con una función de utilidad continua y un conjunto de presupuesto compacto, existe demanda.
- Eficiencia : para demostrar que existe una asignación eficiente en una economía con una oferta limitada de recursos, podemos maximizar la suma de las utilidades (bienestar combinado) de todas las personas en la sociedad sujetas a la restricción de recursos. En una economía de intercambio pura y simple, el cuadro de Edgeworth (el conjunto de restricciones) es compacto y supone que las funciones continuas de utilidad individual nos dan una suma continua de utilidades (objetivo del problema). Por lo tanto, existe una asignación eficiente.
- Equilibrio competitivo : la existencia del precio de equilibrio competitivo (donde la demanda = oferta en todos los mercados) depende de la existencia de demanda (ver punto 1).
Por lo tanto, el teorema nos ayuda a establecer la existencia de asignaciones eficientes y el equilibrio del mercado. Probar la existencia de una solución (en condiciones comprensiblemente débiles ) es un primer paso necesario que justifica el uso del concepto de solución para su posterior análisis en economía.