De hecho, podemos decir para las funciones integrables f y g, [math] \ int_a ^ bf (x) -g (x) dx = \ int_a ^ bf (x) dx- \ int_a ^ bg (x) dx [/ math] .
Tomemos un ejemplo simple y busquemos el área entre [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] g (x) = x [/ matemática] en el intervalo [matemática] [1,3] . [/ math] Observe [math] x ^ 2 \ geq x [/ math] cuando [math] 1 \ leq x \ leq 3. [/ math]
Entonces [matemáticas] \ int_1 ^ 3 x ^ 2-x dx = \ frac {1} {3} x ^ 3- \ frac {1} {2} x ^ 2 \ vert_1 ^ 3 = \ frac {27} {3 } – \ frac {9} {2} – (\ frac {1} {3} – \ frac {1} {2}). [/ math]
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Por otro lado, [matemáticas] \ int_1 ^ 3 x ^ 2 dx- \ int_1 ^ 3x dx = \ frac {1} {3} x ^ 3 \ vert_1 ^ 3- \ frac {1} {2} x ^ 2 \ vert_1 ^ 3 = \ frac {27} {3} – \ frac {1} {3} – \ frac {9} {2} + \ frac {1} {2}. [/ math]
Pero estos son de hecho lo mismo.
Ah, pero he elegido un ejemplo donde [matemáticas] f (x)> g (x) [/ matemáticas] en este intervalo. Las cosas son un poco más complicadas si eliges una situación en la que f está por encima de g algunas veces y por debajo del resto del tiempo. Aquí hay una situación que encontré en Google:
Vemos que cos (x) está por encima de sin (x) de 0 a pi / 4, y sin (x) está por encima de cos (x) de pi / 4 a pi / 2. (Si aún no ha llegado allí, la derivada de sin (x) es cos (x), y la derivada de cos (x) es -sin (x).) Entonces, si queremos el área entre las curvas, tiene que dividirlo en dos integrales:
[matemáticas] \ int_o ^ \ frac {\ pi} {4} \ cos (x) – \ sin (x) dx + \ int_ \ frac {\ pi} {4} ^ \ frac {\ pi} {2} \ sin (x) – \ cos (x) dx [/ math]
[matemáticas] = \ sin (x) + \ cos (x) | _0 ^ \ frac {\ pi} {4} – \ cos (x) – \ sin (x) | _ \ frac {\ pi} {4} ^ \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} – (0 + 1) -0-1 – (- \ frac {\ sqrt {2} } {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {2}) = 2 \ sqrt {2} -2 [/ matemáticas]
pero, por otro lado, [matemáticas] \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ cos (x) dx- \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ sin (x) = 0. [/ matemáticas] Entonces, ¿cuál es el problema? Tenga en cuenta que en la integral dividida, el signo se voltea en la segunda integral. Es decir, de 0 a pi / 4, el coseno es positivo, y de pi / 4 a pi / 2, el coseno es negativo ya que es la función inferior. Tienes que tener esto en cuenta si haces las integrales por separado. Podríamos expresar el área entre las curvas como
[matemáticas] \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {4} \ cos (x) dx + \ int_ \ frac {\ pi} {4} ^ \ frac {\ pi} {2} – \ cos (x) dx + \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {4} – \ sin (x) dx + \ int_ \ frac {\ pi} {4} ^ \ frac {\ pi} {2} \ sin (x) dx, [/ math]
pero desafortunadamente no puedes combinar esos cosenos en una sola integral, ni puedes combinar los senos, porque tienen signos opuestos. Básicamente, el área entre curvas se preocupa por qué curva está en la parte superior y qué curva está en la parte inferior, donde si calcula el área debajo de cada curva por separado, no hay referencia a otra función.
Otra forma de expresar el área entre f (x) yg (x) en el intervalo [a, b] en general es con la función de valor absoluto:
[matemáticas] \ int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx [/ matemáticas]
Si lo hace de esta manera, puede expresarlo como una sola integral, y el valor absoluto siempre garantizará que se evalúe como curva superior – curva inferior sin importar qué curva f o g sea la curva superior. Desafortunadamente, [math] \ int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx \ not = \ int_a ^ b | f (x) | dx- \ int_a ^ b | g (x) | dx [/ math ] porque el valor absoluto no se puede dividir de esa manera.
Espero que esto te dé una idea.