No ha preguntado en qué punto desea la longitud del subtangente. Pero si desea una función que proporcione la longitud del subtangente en cierto punto, así es como puede derivarla.
Sea P (x, y) un punto en la función f (x). Podemos dibujar una tangente y una normal en este punto de la curva que cada uno intersecta un punto en el eje x. Deje que el punto donde la tangente intersecta el eje x sea ‘T’ y la proyección de P (x, y) en el eje x S (x, 0). El subtangente se define como ST para el punto P.
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Si tomamos [math] \ psi [/ math] como el ángulo tangencial (el ángulo formado por la tangente con el eje x),
[matemáticas] \ tan \ psi = \ frac {PS} {ST} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] ST = \ frac {PS} {\ tan \ psi} = PS \ cot \ psi [/ math].
Dado que la pendiente de la línea [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {PS} {ST} = \ tan \ psi [/ matemáticas],
Subtangent = [math] \ displaystyle \ frac {y} {dy / dx} [/ math]
Para [matemáticas] \ displaystyle y = e ^ {x / a} [/ matemáticas],
subtangent = [math] \ displaystyle \ frac {e ^ {x / a}} {\ frac {1} {a} e ^ {x / a}} = a [/ math]