Si necesita demostrar que, como propiedad general, las curvas de indiferencia son convexas, puede recurrir al teorema de representación, que garantiza que las preferencias convexas (es decir, con “gusto por la variedad”) tienen curvas de indiferencia cuasicóncava, que a su vez como propiedad tienen curvas de indiferencia convexas. También puede probar el simple hecho de que “las preferencias convexas implican curvas convexas de indiferencia”, pero no usar derivadas.
Si necesita mostrar que una función particular tiene curvas de indiferencia convexas, es posible que desee ver directamente la expresión analítica de las curvas. Dado que las curvas de indiferencia son funciones definidas implícitamente al establecer [math] u (x, y) = \ bar {u} [/ math], puede derivar formas analíticas para las curvas de indiferencia y comprobar que están disminuyendo y disminuyendo primero -orden derivada. Suponga que está maximizando [math] u (x, y) = x ^ {0.5} y ^ {0.5} [/ math], luego para un nivel particular (y arbitrario) de utilidad [math] \ bar {u} [/ matemática], tiene [matemática] \ bar {u} = x ^ {0.5} y ^ {0.5} \ Leftrightarrow y = \ frac {\ bar {u}} {x} [/ math], cuya derivada de segundo orden es [matemática] \ frac {\ parcial ^ {2} y} {\ parcial x ^ {2}} = – \ frac {\ bar {u}} {x ^ {2}} <0 [/ matemática]. QED
Este fue el camino fácil. Si no es particularmente propenso a las matemáticas, es posible que desee omitir el siguiente método, ya que se basa en procedimientos particularmente tediosos que generalmente se cepillan con cuidado debajo de la alfombra en el nivel de pregrado). Hay otra forma (pero no derivada) de verificar que una función particular tenga curvas de indiferencia convexas.
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La segunda forma más formal
Sin embargo, la forma más rigurosa es usar un objeto desagradable llamado matriz de arpillera con borde: una vez que configura el problema de maximización de la utilidad y escribe su Lagrangean, debe construir la matriz de derivadas parciales de segundo orden de la función Lagrangean, con una primera columna y fila agregadas que incluyen las derivadas parciales de primer orden de la restricción presupuestaria. Suponga que está maximizando [matemáticas] u (x, y) = x ^ {0.5} y ^ {0.5} [/ matemáticas] sujeto a [matemáticas] x + y = I [/ matemáticas]. Entonces su Lagrangean es [math] \ mathcal {L} = x ^ {0.5} y ^ {0.5} + \ lambda (Ixy) [/ math]
[matemáticas] | H ^ {B} | = \ left | \ begin {array} {ccc} 0 y -1 y -1 \\ -1 y -0.25x ^ {- 1.5} y ^ {0.5} y 0.25x ^ {-. 5} y ^ {- 0.5} \\ -1 y 0.25x ^ {-. 5} y ^ {- 0.5} y -0.25y ^ {- 1.5} x ^ {0.5} \ end {array} \ right | [/ math]
Observe que la matriz se construye poniendo un 0 como el elemento (1,1), luego completando la primera fila y la primera columna con la derivada parcial de primer orden de la restricción; finalmente, llene el “agujero” en la esquina inferior derecha con la matriz de derivadas parciales de segundo orden de la función lagrangeana (que, salvo restricciones de presupuesto “exóticas”, generalmente será solo la derivada de segundo orden de la función de utilidad) . Una vez que hayas escrito esta bestia, “solo” debes demostrar que es negativa-definida: esto requiere verificar que todos los principales menores firmantes sean negativos. Es decir, debe verificar que [matemáticas] | H_ {1} ^ {B} | 0, | H_ {3} ^ {B} | <0, … [/ math], donde en nuestro caso solo hay dos para verificar
[matemáticas] | H_ {1} ^ {B} | = \ left | \ begin {array} {cc} 0 & -1 \\ -1 & -0.25x ^ {- 1.5} y ^ {0.5} \ end {array} \ right | [/ math]
[matemáticas] | H_ {2} ^ {B} | = \ left | \ begin {array} {ccc} 0 y -1 y -1 \\ -1 y -0.25x ^ {- 1.5} y ^ {0.5} y 0.25x ^ {-. 5} y ^ {- 0.5} \\ -1 y 0.25x ^ {-. 5} y ^ {- 0.5} y -0.25y ^ {- 1.5} x ^ {0.5} \ end {array} \ right | [/matemáticas]
En términos simples ( jaja, es broma, ¡no hay términos simples para álgebra lineal! Es solo una pesadilla … ), necesitas encontrar el determinante de [matemáticas] H_ {1} ^ {B} [/ matemáticas] y [matemáticas] H_ {2} ^ {B} [/ math] y muestra que el primero es negativo y el segundo positivo.
Es posible que desee echar un vistazo a este conjunto de diapositivas, que le brinda un poco más de información sobre todo el método de solución de problemas de maximización de servicios públicos: de la Universidad de Essex. Es cierto que no existe una intuición económica detrás de este método, ya que se basa en resultados matemáticos para una optimización restringida.
La tercera forma, no usar derivados
También puede recurrir a la siguiente caracterización de funciones cuasicóncavas:
Proposición
Una función cuasicóncava tiene conjuntos convexos de contorno superior
Si puede demostrar que su función tiene conjuntos convexos de contorno superior (es decir, dada una [matemática] x [/ matemática] particular, su conjunto de contorno superior con respecto a [matemática] u (x) [/ matemática] es [matemática] U_ {u} (x) = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n} _ {+} | u (x) \ le u (y) \} [/ math]), entonces sabes que es cuasi cóncavo, que siempre tiene curvas de indiferencia convexas. Considere paquetes de consumo [matemática] x, y, z [/ matemática] st [matemática] x \ sim y [/ matemática], [matemática] z = \ alpha x + (1- \ alpha) y, \ alpha \ in (0 , 1) [/ matemáticas]. Por convexidad de preferencias, [math] z \ succ y, z \ succ x [/ math], luego, según el teorema de representación, debe ser [math] u (z)> u (x) = u (y) [/ math ] Pero luego [matemáticas] z \ en U_ {u} (x) = U_ {u} (y) [/ matemáticas]. Como [math] z [/ math] es una combinación lineal convexa de [math] x [/ math] y [math] y [/ math], [math] U_ {u} (x) [/ math] es convexa conjunto. QED