Supongo que el lector está familiarizado con el concepto de equilibrio de Nash de la teoría de juegos, así como con cómo resolver sumas geométricas. No usaré la notación matemática porque no sé cómo hacer eso en Quora y soy demasiado vago para entenderlo.
La parte 1 es muy fácil. La última declaración del primer párrafo es la clave. La estación que socava el mercado, lo que significa que toda la demanda irá a la estación que establezca el precio más bajo. Se supone que si varias estaciones empatan por el precio más bajo, todas esas estaciones dividirán la demanda de manera equitativa. Llamamos a esta situación competencia de Bertrand.
Ahora, queremos encontrar un conjunto de precios (p1, p2, p3, p4, p5) que forme un equilibrio de Nash. Esto significa que ninguna estación quiere cambiar su precio, dado lo que están haciendo las otras estaciones.
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Afirmo que p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = 1 es un equilibrio de Nash. ¿Por qué? Suponga que cada estación establece un precio superior a 1. Suponga que usted no es la estación que ha establecido el precio más bajo actual. ¿Estás contento con la situación? No, porque podría socavar la estación más baja en una pequeña cantidad, tener el precio más bajo y, por lo tanto, obtener una ganancia positiva. Por lo tanto, cualquier solución con todos los precios por encima de 1 no puede ser un equilibrio de Nash. Del mismo modo, suponga que todos los precios están por debajo de 1. Ahora, la estación de precio más baja está perdiendo dinero, porque pierden dinero por cada litro de gasolina vendido. No están contentos, porque al menos no podrían perder dinero al elevar su precio por encima del de otra persona, y dejarlos tomar el mercado.
Ahora, considere que todos establecen un precio de 1. Dado que otros establecen un precio de 1, ¿puede obtener una ganancia positiva? Es imposible, porque si aumenta su precio, no vende nada, pero si baja su precio obtiene todo el mercado, pero a un precio que pierde dinero. Por lo tanto, no hay incentivo para cambiar su precio de 1 y, por lo tanto, tenemos un equilibrio de Nash.
Parte 2: Resolvamos el problema del monopolista. El beneficio del monopolista viene dado por Beneficio = Ingresos totales – Costo total = P * Q – Costo total. No se nos da un costo fijo, por lo tanto, el costo del monopolista es simplemente 1 * Q = Q. Entonces la ganancia es P * (50000 – 25000P) – (50000-25000P) = 50000P – 25000P ^ 2 – 50000 + 25000P = -25000P ^ 2 + 75000P – 50000.
Ahora, sabemos que podemos encontrar el máximo de una función al diferenciar y establecer los resultados iguales a cero. Entonces obtenemos -50000P + 75000 = 0, lo que significa P = 3/2 o 1.5. En P = 1.5, Q = 12,500L, y las ganancias deben ser de 6,250 por día.
Parte 3: Primero, notamos que si los gerentes de la estación confabulan exitosamente, todos establecen el precio de monopolio de 1.5, y cada uno obtiene una quinta parte del mercado. Por lo tanto, cada día que se confabulan con éxito, cada uno obtendrá ganancias de 6250/5 = 1250.
Si cada empresa siempre se apega al plan de colusión, obtendrán ese beneficio cada día durante una serie infinita de días. Podemos calcular el valor presente neto de esto usando el factor de descuento de 0.7. El primer día vale el total de 1250, el siguiente 1250 * .7 = 875, el siguiente 875 * .7, etc. Esto genera una serie geométrica y tiene un valor de 1250 * 1 / (1-. 7) = 4167, redondeando a la libra más cercana.
Entonces, el esquema de colusión vale 4167, si puede sostenerse. Si una empresa hace trampa en el plan de colusión, obtiene una recompensa única de 6250 (asumimos que las otras empresas se coludirán hasta el período posterior a que una empresa haga trampa). Por lo tanto, romper la colusión vale más y, por lo tanto, no podemos esperar que las empresas mantengan la colusión.
Si hubiera en cambio 4 empresas, el resultado de la colusión sería (6250/4) * 1 / (1-.7) = 5208, que todavía no es suficiente.
Si hubiera 3 empresas, el resultado de la colusión es (6250/3) * 1 / (1-.7) = 6944, que ahora es mayor que el pago único por trampa. El cartel ahora es estable.