Observe que [math] \ displaystyle u (x, y) = \ min \ left (2 \ sqrt {xy}, \ x + y \ right) = 2 \ sqrt {xy} [/ math]. La razón es:
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} & \ left (\ sqrt {x} – \ sqrt {y} \ right) ^ 2 \ geq 0 \\ \ Rightarrow & x + y – 2 \ sqrt {xy} \ geq 0 \\ \ Rightarrow & x + y \ geq 2 \ sqrt {xy} \ end {eqnarray *} [/ math]
Entonces tenemos [math] u (x, y) = 2 \ sqrt {xy} [/ math] que es una función de utilidad casi cóncava con curvas de indiferencia convexas. Dado que los precios de [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] son [matemática] p_x [/ matemática] y [matemática] p_y [/ matemática] respectivamente, el paquete de equilibrio [matemático] (x , y) [/ math] satisfará la propiedad de que la pendiente de la curva de indiferencia en el paquete elegido será igual a la pendiente de la línea presupuestaria, es decir
- ¿Cuántos clientes más se necesitan para cambiar el precio de equilibrio?
- Si la sociedad toma un dólar de un multimillonario y se lo da a alguien en la pobreza, ¿el beneficio neto para la sociedad es positivo, negativo o sin cambios?
- ¿Restringir artificialmente el número de taxis perjudica a los consumidores al darles a los posibles pasajeros menos opciones y obligarlos a pagar tarifas más altas? ¿Por qué o por qué no?
- ¿El crowdsourcing (intenta) hacer un final en torno a las leyes de salario mínimo?
- ¿Cómo puede ayudar la negociación colectiva de los trabajadores a la economía estadounidense?
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = \ frac {p_x} {p_y} [/ math]
Además, el paquete elegido debe estar en la línea presupuestaria, es decir, el gasto en el paquete debe ser igual al ingreso del consumidor [matemática] M [/ matemática]. Por lo tanto,
[matemáticas] p_xx + p_yy = M [/ matemáticas]
Usando los datos del problema, las dos condiciones anteriores son:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {y} {x} = \ frac {p_x} {p_y} [/ matemáticas]
[matemáticas] p_x x + p_y y = M [/ matemáticas]
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos las demandas como [math] x = \ displaystyle \ frac {M} {2p_x} [/ math] y [math] y = \ displaystyle \ frac {M} {2p_y} [/ math].