Suponga que el precio del bien x es [matemático] P_ {x} [/ matemático] y el precio del bien y es [matemático] P_ {y} [/ matemático]. El presupuesto total es [matemática] B [/ matemática].
La forma y función específicas de la curva de demanda dependen de la función de utilidad / curva de indiferencia.
- Dada una función de utilidad: [matemática] U (x, y) = ax + por [/ matemática] (sustitutos perfectos)
Entonces, el paquete de consumo óptimo resultante sería soluciones de esquina (ya sea todas x o todas y ). Específicamente, si [math] \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} <\ frac {a} {b} [/ math] entonces todo x ([math] = \ frac {B} {P_ {x }} [/ math]), si [math] \ frac {P_ {x}} {P_ {y}}> \ frac {a} {b} [/ math] entonces todo y ([math] = \ frac { B} {P_ {y}} [/ matemáticas]).
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Por lo tanto, para estimar la curva de demanda para x (suponiendo que [matemática] P_ {y} [/ matemática] y todo lo demás además de [matemática] P_ {x} [/ matemática] se mantiene constante), podemos hacer lo siguiente:
Si [math] P_ {x}> \ frac {a} {b} \ cdot {} P_ {y} [/ math] entonces Demanda para x = 0.
Si [math] P_ {x} \ le {} \ frac {a} {b} \ cdot {} P_ {y} [/ math] entonces Demanda de [math] x = \ frac {B} {P_ {x} }[/matemáticas].
Esto le proporciona una curva de demanda no lineal (hiperbólica) que “se corta / comienza” en [matemáticas] \ frac {a} {b} \ cdot {} P_ {y} [/ matemáticas]. Puede trazar esto a mano (conectando valores para [math] P_ {x} [/ math] y ver cuál es la cantidad resultante para x ) o electrónicamente conectando la función en su dispositivo de preferencia.
- Dada una función de utilidad de [math] U (x, y) = A \ cdot {} x ^ {a} \ cdot {} y ^ {b} [/ math] (utilidad Cobb-Douglas)
Entonces, el paquete de consumo óptimo resultante sería una solución interior y la elección óptima de x sería específicamente [matemáticas] \ frac {B} {P_ {x}} \ cdot {} \ frac {a} {a + b} [/ matemáticas] (prueba como una nota al pie de página a continuación).
Entonces, la curva de demanda está esencialmente descrita:
[matemáticas] x = \ frac {B} {P_ {x}} \ cdot {} \ frac {a} {a + b} [/ matemáticas]
Esto le proporciona una curva de demanda no lineal (hyberbolic) y nuevamente puede trazar a mano o electrónicamente.
- Dada una función de utilidad de [math] U (x, y) = [/ math] min {[math] ax, by [/ math]} (complementos perfectos)
Entonces, el paquete de consumo óptimo resultante sería una solución interior en la línea de relación ideal ([matemática] y = \ frac {a} {b} \ cdot {} x [/ matemática]). Entonces, intersectando esto con la línea presupuestaria, [math] y = \ frac {B} {P_ {y}} – \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} \ cdot {} x [/ math] …
[matemáticas] \ Rightarrow {} (\ frac {a} {b} + \ frac {P_ {x}} {P_ {y}}) \ cdot {} x = \ frac {B} {P_ {y}} [ / matemáticas] [matemáticas]
\ Rightarrow {} x = \ frac {B} {\ frac {a} {b} \ cdot {} P_ {y} + \ frac {P_ {x}} {P_ {y}}} [/ math]
Aquí la relación funcional entre x y [matemáticas] P_ {x} [/ matemáticas] es más difícil de ver, pero también es no lineal y se puede trazar a mano o electrónicamente.
[Nota] Encontrar paquetes de consumo óptimos con la utilidad Cobb-Douglas:
[matemáticas] \ frac {MU_ {x}} {MU_ {y}} = \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} \ Rightarrow {} \ frac {a} {b} \ cdot {} \ frac {y} {x} = \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} \ Rightarrow {} y = \ frac {b} {a} \ cdot {} \ frac {P_ {x}} {P_ { y}} \ cdot {} x [/ math]
Línea presupuestaria: [matemáticas] y = \ frac {B} {P_ {y}} – \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} \ cdot {} x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow {} \ frac {b} {a} \ cdot {} \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} \ cdot {} x = \ frac {B} {P_ {y}} – \ frac {P_ {x}} {P_ {y}} \ cdot {} x \ Rightarrow {} \ frac {a + b} {a} \ cdot {} \ frac {P_ {x}} {P_ {y }} \ cdot {} x = \ frac {B} {P_ {y}} \ Rightarrow {} x = \ frac {B} {P_ {x}} \ cdot {} \ frac {a} {a + b} [/matemáticas]